2.2. Podstawy teorii kwantów

W ten sposób skonstruowany został formalizm matematyczny opisujący proces podejmowania decyzji przez UT, odnoszący się do zjawisk fizycznych. Dla prostoty rozpatrywaliśmy układ fizyczny scharakteryzowany tylko przez trzy obserwable a, b i c, z których każda może przyjmować dwie wartości. Oczywiście formalizm ten może być łatwo uogólniony na dowolny izolowany układ fizyczny. Otrzymany formalizm opisujący proces podejmowania decyzji przez UT, jest identyczny z podstawowym szkieletem teorii kwantów. Uwiarygadnia to hipotezę, że zasady teorii kwantów maja taką strukturę, ponieważ procesy kwantowe zachodzą w UT.
Żeby wyraźnie pokazać, że taka identyczność jest faktem wprowadzamy notację zaproponowaną przez Diraca [22] i powszechnie używaną w teorii kwantów. Oznaczmy możliwość

(65)

gdzie  nazywa się wektorem stanu "ket", a

(66)

- wektorem stanu "bra". Wtedy równania własne dla operatora  (25) mogą być zapisane w postaci

(67)

lub

(68)

oraz warunek ortonormalności (10) (przy założeniu, że )

i warunek zupełności (22)

(69)
Wzór (24) na wartość oczekiwaną obserwabli a, której odpowiada operator hermitowski , w stanie  przyjmuje postać
(70)

Nierówności Robertsona (patrz (50)) wyrażające relacje nieoznaczoności Heisenberga w notacji Diraca można zapisać jako

(71) 

gdzie

(72)

oraz
(73)

Z kolei proces pomiaru obserwabli a, układu w stanie  przedstawiają relacje:

(74)

lub

(75)

wynikające ze wzorów (60) i (61).

Ze względu na możliwość wyrażenia każdego wektora stanu przez liniową zespoloną superpozycję stanów własnych, jak we wzorach (74), (75), wszystkie operatory obserwabli działające w przestrzeni Hilberta wektorów stanów (Π H ) muszą spełniać warunek liniowości, zwany zasadą superpozycji stanów [22],

(76)

dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 oraz dowolnych wektorów stanu .

W końcu wzór na prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru obserwabli a wartości a?dla układu w stanie  , zgodnie z wzorami (20), przyjmuje postać postulatu Borna [10,20]

(77)

Wzory (65-77) istotnie stanowią fundament dowolnej realizacji teorii kwantów [22-26]. Tworzą one pierwszy, drugi i czwarty (patrz wstęp) podstawowy element teorii kwantów. Nie określają one natomiast przestrzeni stanów konkretnego układu fizycznego i jej ewolucji. Uwiarygadnia to hipotezę, że procesy kwantowe zachodzą w jakimś UT. Nasuwa się jednak podstawowe pytanie jaka ontologia kryje się za tą hipotezą i jaką ona generuje interpretację teorii kwantów?

Dalej >

Z powrotem | Matematyka a transcendencja