Zadania z egzaminów dla aktuariuszy

Wybrane zadania z egzaminów dla aktuariuszy

UWAGA. Rozwiązania można znaleźć w książce: W. Wołyński, Prawdopodobieństwo i statystyka. Zadania z egzaminów dla aktuariuszy z rozwiązaniami (2003-2007), Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2008.

ZADANIE 1. Niech $X_1,\ldots ,X_n$ będzie próbką z rozkładu jednostajnego o gęstości danej wzorem: $$f_{\theta}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta}, & \hbox{dla $0\leq x\leq \theta$,} \\0, & \hbox{w przeciwnym przypadku.}\end{array}\right.$$ Zmienne losowe $X_1,\ldots ,X_n$ nie są w pełni obserwowalne. Obserwujemy zmienne losowe $Y_i=\min(X_i,10)$. Oblicz estymator największej wiarogodności $\hat\theta$ parametru $\theta$ na podstawie następującej próbki: $$(Y_1,\ldots ,Y_{16})=(4, 8, 10, 5, 10, 9, 7, 5, 8, 10, 6, 10, 3, 10, 6, 10).$$ (A) $\hat\theta = 13,333$
(B) $\hat\theta = 16$
(C) $\hat\theta = 10$
(D) $\hat\theta = 20$
(E) nie można zastosować metody największej wiarogodności do tych danych.

Wskazówka: Zauważ, że w próbce jest 10 obserwacji mniejszych od 10 oraz 6 obserwacji o wartości równej 10.

ZADANIE 2. Rozważmy następujące zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Dysponujemy próbką $X_1,\ldots ,X_n$ z rozkładu normalnego o nieznanej średniej $\mu$ i znanej wariancji równej 1. Przeprowadzamy najmocniejszy test hipotezy $H_0:\ \mu=0$ przeciwko alternatywie $H_1:\ \mu=1$ na poziomie istotności $\alpha=1/2$. Oczywiście moc tego testu zależy od rozmiaru próbki. Niech $\beta_n$ oznacza prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, dla rozmiaru próbki $n$.
Wybierz poprawne stwierdzenie:

(A) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{1/n}=1$ (wraz ze wzrostem $n$, prawdopodobieństwo $\beta_n$ maleje do zera z podobną szybkością, jak ciąg $1/n$),
(B) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{1/n^2}=1$ (wraz ze wzrostem $n$, prawdopodobieństwo $\beta_n$ maleje do zera z podobną szybkością, jak ciąg $1/n^2$),
(C) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{e^{-n^2/2}}=1$ (wraz ze wzrostem $n$, prawdopodobieństwo $\beta_n$ maleje do zera z podobną szybkością, jak ciąg $e^{-n^2/2}$),
(D) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{e^{-n/2}/\sqrt{2\pi n}}=1$ (wraz ze wzrostem $n$, prawdopodobieństwo $\beta_n$ maleje do zera z podobną szybkością, jak ciąg $e^{-n/2}/\sqrt{2\pi n}$),
(E) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

ZADANIE 3. Niech $W_1,W_2,\ldots ,W_n$ $(n>1)$ będzie próbką z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej $\mu$. Rozważmy estymatory parametru $\mu$ postaci $$\hat\mu=aS,\quad\text{gdzie}\quad S=\sum_{i=1}^nW_i.$$ Znajdź liczbę $a$, dla której błąd średniokwadratowy estymatora, czyli wielkość $$\text{E}(\hat\mu-\mu)^2$$ jest najmniejszy.

(A) $a=\frac{1}{n}$
(B) $a=\frac{1}{n-1}$
(C) $a=\frac{1}{n+1}$
(D) $a=\frac{1}{n+\sqrt{n}}$
(E) nie istnieje liczba $a$ dla której błąd średniokwadratowy odpowiadającego jej estymatora jest jednostajnie najmniejszy (najmniejszy przy każdej wartości $\mu$).

ZADANIE 4. $X_1,X_2,\ldots ,X_{10}$ jest próbką z rozkładu normalnego o znanej wartości oczekiwanej $\mu$ i nieznanej wariancji $\sigma^2$. Rozważmy test hipotezy $$H_0:\ \sigma^2\leq 4$$ Przeciwko alternatywie $$H_1:\ \sigma^2>4,$$ który jest najmocniejszy na poziomie istotności $\alpha =0,05$. Dla jakich wartości wariancji moc tego testu jest niemniejsza, niż 0,95?
Podaj zbiór $$M=\{ \sigma^2:\ \text{moc testu} \geq 0,95 \}.$$ (A) $M=[9,29; \infty)$
(B) $M=[4,46; \infty)$
(C) $M=[18,58; \infty)$
(D) $M=[20,35; \infty)$
(E) $M=[31,08; \infty)$

ZADANIE 5. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości $$f_{\theta}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & \hbox{dla $x>1$,} \\ 0, & \hbox{dla $x\leq 1$,}\end{array}\right.$$ gdzie $\theta>0$ jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru $\theta$ postaci $\left[ \frac{d}{n}\hat \theta,\frac{c}{n}\hat \theta\right]$ na poziomie ufności $1-\alpha$, gdzie liczby $c$ i $d$ są dobrane tak, aby $$\text{P}_{\theta}\left\{ \theta <\frac{d}{n}\hat\theta\right\}= \text{P}_{\theta}\left\{ \theta >\frac{c}{n}\hat\theta\right\}=\frac{\alpha}{2}$$ i $\hat\theta$ jest estymatorem największej wiarogodności parametru $\theta$.
Przy $n=20$ i $\alpha =0,05$ przedział ufności ma postać:

(A) $[0,663\hat\theta,\ 1,394\hat\theta]$
(B) $[0,812\hat\theta,\ 1,242\hat\theta]$
(C) $[0,611\hat\theta,\ 1,484\hat\theta]$
(D) $[0,480\hat\theta,\ 1,709\hat\theta]$
(E) $[0,325\hat\theta,\ 2,048\hat\theta]$

ZADANIE 6. Losujemy $n$ $(n\geq 3)$ niezależnych realizacji zmiennej losowej z rozkładu jednostajnego na przedziale $(0,\theta)$ o gęstości $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta}, & \hbox{dla $0<x<\theta$,} \\ 0, & \hbox{dla $x\not\in (0,\theta)$.}\end{array}\right.$$ Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący $\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}$ tworzymy przedział $(2x_1,2x_{n-1})$.
Dobrać najmniejsze $n$, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony przedział pokrywa wartość parametru $\theta$ jest większa niż 0,9.

(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10

ZADANIE 7. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Weibulla o gęstości $$f_{\theta}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\theta}x\exp(-\frac{x^2}{\theta}), & \hbox{gdy $x>0$,} \\ 0, & \hbox{gdy $x\leq 0$,}\end{array}\right.$$ gdzie $\theta$ jest nieznanym parametrem. Rozważmy nieobciążony estymator parametru $\theta$ postaci $T_n=aY$, gdzie $Y=\min(X_1^2,X_2^2,\ldots ,X_n^2)$ i $a$ jest odpowiednio dobraną stałą (być może zależną od liczebności próby $n$). Badając zgodność estymatora $T_n$ otrzymujemy

(A) $\forall \theta>0 \ \forall \varepsilon>0 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}_{\theta}\{|T_n-\theta|>\varepsilon\}=0,$
(B) $\forall \theta>0 \ \forall 0<\varepsilon<\theta
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}_{\theta}\{|T_n-\theta|>\varepsilon\}= 1-\exp(-1)\left(\exp\left(\frac{\varepsilon}{\theta}\right)- \exp\left(-\frac{\varepsilon}{\theta}\right)\right),$
(C) $\forall \theta>0 \ \forall \varepsilon>0
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}_{\theta}\{|T_n-\theta|>\varepsilon\}=
1-\exp(-1)\left(\exp\left(\frac{\varepsilon}{\theta}\right)-
\exp\left(-\frac{\varepsilon}{\theta}\right)\right),$
(D) $\forall \theta>0 \ \forall 0<\varepsilon<\theta
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}_{\theta}\{|T_n-\theta|>\varepsilon\}=
\left(-1-\frac{\varepsilon}{\theta}\right),$
(E) $\forall \theta>0 \ \forall \varepsilon>0 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}_{\theta}\{|T_n-\theta|>\varepsilon\}=1.$

ZADANIE 8. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_m$ będą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym $N(\mu_1,\sigma^2)$ każda i $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n$ zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym $N(\mu_2,\sigma^2)$ każda. Wszystkie zmienne są niezależne. Hipotezę $H_0:\ \mu_1=\mu_2$ przy alternatywie $H_1:\ \mu_1>\mu_2$ weryfikujemy w następujący sposób. Zliczamy liczbę $S$ elementów w próbce $X_1,X_2,\ldots ,X_m$ większych od wszystkich elementów próbki $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n$. Hipotezę $H_0$ odrzucamy, gdy $S\geq s$, gdzie $s$ jest wartością krytyczną. Przypuśćmy, że $m=7$ i $n=8$. Podaj rozmiar testu, gdy $s=2$.

(A) 0,15
(B) 0,10
(C) 0,20
(D) 0,05
(E) 0,25

ZADANIE 9. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ będą zmiennymi losowymi o rozkładzie $Pareto(1,a_1)$, a $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_m$ będą zmiennymi losowymi o rozkładzie $Pareto(1,a_2)$, gdzie $a_1,a_2>0$ są nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności $1-\alpha$ budujemy przedział ufności $[dT,cT]$ dla ilorazu parametrów $\frac{a_1}{a_2}$ na podstawie estymatora największej wiarogodności $T$ tego ilorazu w ten sposób, że $$\text{P}_{a_1,a_2}(cT<\frac{a_1}{a_2})=\text{P}_{a_1,a_2}(dT>\frac{a_1}{a_2})=\frac{\alpha}{2}.$$ Jeśli $\alpha=0,1$ i $m=4$ i $n=5$, to przedział ufności ma długość

(A) $3,02T$
(B) $2,77T$
(C) $6,06T$
(D) $5,03T$
(E) $4,42T$

Uwaga: Rozkład $Pareto(\lambda,\theta)$ jest rozkładem o gęstości $$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\lambda^{\theta}\theta}{(\lambda+x)^{\theta+1}}, & \hbox{gdy $x>0$,} \\
0, & \hbox{gdy $x\leq 0$.}
\end{array}\right.$$
ZADANIE 10. Obserwujemy $n$ niezależnych zmiennych losowych $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ o tym samym rozkładzie o gęstości $$f_{\theta}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2x}{\theta ^2}, & \hbox{gdy $x\in (0;\theta)$,} \\
0, & \hbox{w przeciwnym przypadku,}\end{array}\right.$$ gdzie $\theta>0$ jest nieznanym parametrem. Rozważmy test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy $H_0:\ \theta=1$ przy alternatywie $H_1:\ \theta>0$ na poziomie istotności 0,1. Jak najmniej liczną próbą należy dysponować, aby moc otrzymanego testu przy alternatywie $\theta_1=\frac{3}{2}$ była nie mniejsza niż 0,9.

(A) $n\geq 10$
(B) $n=8$
(C) $n=6$
(D) $n=4$
(E) $n=3$

ZADANIE 11. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego $N(m,\sigma^2)$, z nieznanymi parametrami $m$ i $\sigma^2$. Rozważamy problem testowania hipotezy $H_0:\ m=0$ przy alternatywie $H_1:\ m\not =0$ za pomocą testu, który odrzuca $H_0$ jeśli $\frac{|\bar X|}{Z}>t$, gdzie $Z=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2}$. Dobierz stałą $t$ tak, aby prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju testu było równe 0,05, jeśli wiadomo, że $n=9$.

(A) 0,769
(B) 0,569
(C) 0,754
(D) 0,399
(E) 0,632

ZADANIE 12. Zmienne losowe $X_1,X_2,\ldots ,X_n,\ldots $ są niezależne i mają identyczny rozkład dany gęstością $$f_{\theta}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
4\theta x^3\exp(-\theta x^4), & \hbox{gdy $x>0$,} \\
0, & \hbox{w przeciwnym przypadku,}
\end{array}
\right.$$ gdzie $\theta >0$ jest nieznanym parametrem. Niech $T_n$ oznacza estymator największej wiarogodności funkcji $$g(\theta)=\text{P}_{\theta}(X_1>1)=e^{-\theta}$$ wyznaczony w oparciu o próbę losową $X_1,X_2,\ldots ,X_n$. Przypuśćmy, że $\theta=2$. Które z twierdzeń jest prawdziwe?

(A) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}\{|T_n-e^{-2}|\sqrt{n}>e^{-1}\}=0,32$
(B) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}\{|T_n-e^{-2}|\sqrt{n}>2e^{-2}\}=0,32$
(C) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}\{T_n\leq e^{-2}\}=1$
(D) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}\{|T_n-2|\sqrt{n}<2\}=0,32$
(E) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\text{P}\{T_n > e^{-2}\}=1$

ZADANIE 13. Niech $(U_1,\ldots ,U_n)$ będzie próbą niezależnych zmiennych losowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(0,1)$, a więc niech łączna gęstość próby wynosi: $$f(u_1,\ldots ,u_n)=1\quad\text{dla każdego}\quad (u_1,\ldots ,u_n)\in (0,1)^n.$$ Załóżmy, że $n>1$. Niech $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ oznacza próbę $(U_1,\ldots ,U_n)$ uporządkowaną w kolejności rosnącej. Oznaczmy gęstość próby uporządkowanej przez $g(y_1,\ldots ,y_n)$. Oczywiście gęstość ta przyjmuje wartości dodatnie na zbiorze: $$(y_1,\ldots ,y_n):\ 0<y_1<y_2<\cdots <y_n<1.$$ Gęstość $g$ jest na tym zbiorze stała i wynosi:

(A) $g(y_1,\ldots ,y_n)=2^n-n$
(B) $g(y_1,\ldots ,y_n)=2^{n-1}$
(C) $g(y_1,\ldots ,y_n)=(n+1)!-n$
(D) $g(y_1,\ldots ,y_n)=n^2-2n+2$
(E) $g(y_1,\ldots ,y_n)=n!$

ZADANIE 14. Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją $X$ z rozkładu Laplace'a o gęstości $$f_{\mu, \lambda}(x)=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda |x-\mu|},$$ gdzie $\lambda >0$ i $\mu \in \mathbf{R}$ są parametrami. Rozważmy zagadnienie testowania hipotezy $$H_0:\ \mu =0\quad\text{i}\quad\lambda=1$$ przeciw alternatywie $$H_1:\ \mu =-1\quad\text{i}\quad\lambda=0,5.$$ Obszar krytyczny najmocniejszego testu na poziomie istotności $\alpha$ jest postaci $$K=\{x:\ x\not\in (a,3)\}.$$ Wyznacz $a$ i poziom istotności $\alpha$.

(A) $a=-\infty$; $\alpha =0,025$
(B) $a=-2$; $\alpha =0,093$
(C) $a=-1$; $\alpha =0,209$
(D) $a=-3$; $\alpha =0,050$
(E) $a=-4$; $\alpha =0,034$

ZADANIE 15. Na podstawie prostej próby losowej $X_1,X_2,\ldots ,X_{20}$ testowano hipotezę $H_0:\ \sigma^2=1$ przy alternatywie $H_1:\ \sigma^2>1$, gdzie $\sigma^2$ jest parametrem odpowiadającym za wariancję zmiennej losowej $X_i$ za pomocą testu o obszarze krytycznym $$K=\left\{ \sum_{i=1}^{20}X_i^2>t\right\}.$$ Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe $X_i$ mają rozkład zadany gęstością $$f_{\theta}(x)=\theta |x| e^{-\theta x^2},\quad\text{gdy}\quad x\in \mathbf{R},$$ gdzie $\theta>0$ jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności $\alpha=0,05$, wartość krytyczna $t$ jest równa:

(A) 55,7585
(B) 31,4104
(C) 18,3070
(D) 27,8793
(E) 15,7052

ZADANIE 16. Na podstawie prostej próby losowej $X_1,X_2,X_3,\ldots ,X_n$ z rozkładu gamma o gęstości $$f_{\theta}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\theta^2x e^{-\theta x}, & \hbox{gdy $x>0$,} \\ 0, & \hbox{gdy $x\leq 0$,}\end{array}\right.$$ estymujemy parametr $\theta$ wykorzystując estymator największej wiarogodności $\hat\theta$.
Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próby $n$ taki, że $$\text{P}\left(\frac{|\hat\theta -\theta|}{\theta}\leq 0,05\right)\approx 0,95.$$ Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym. Wybrać spośród podanych liczb najbliższe przybliżenie.

(A) 400
(B) 800
(C) 1600
(D) 3200
(E) 2400

ZADANIE 17. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_6$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale $[-\theta ,\theta]$, gdzie $\theta>0$ jest nieznanym parametrem. Niech $\hat\theta$ oznacza estymator największej wiarogodności parametru $\theta$.
Obliczyć $$\text{P}_{\theta}(\hat\theta<\theta<2\hat\theta).$$ (A) 0,8232
(B) 0,9998
(C) 0,9858
(D) 0,9844
(E) 0,8220

ZADANIE 18. Niech $X_1,X_2,X_3,\ldots ,X_9$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym $N(\mu,\sigma^2)$, gdzie $\mu\in \mathbf{R}$, $\sigma>0$ są nieznanymi parametrami. Niech $$\bar X=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^9X_i,\quad S^2=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^9(X_i-\bar X)^2.$$ Wyznacz estymator nieobciążony o minimalnej wariancji parametru $\nu=\frac{\mu}{\sigma}$.

(A) $\frac{\bar X}{S}$
(B) $\frac{3}{\Gamma(3,5)}\frac{\bar X}{S}$
(C) $\frac{12}{\Gamma(3,5)}\frac{\bar X}{S}$
(D) $\frac{8!}{2\Gamma(7,5)}\frac{\bar X}{S}$
(E) $\frac{6}{\Gamma(3,5)}\frac{\bar X}{S}$

ZADANIE 19. Zakładamy, że $X_1,X_2,\ldots ,X_n$, $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, przy czym $\text{E}(X_i)=\text{E}(Y_i)=\mu$, $\text{Var}(X_i)=\sigma^2$, $\text{Var}(Y_i)=4\sigma^2$ dla $i=1,2,\ldots ,n$. Parametry $\mu$ i $\sigma$ są nieznane. Niech $\hat\sigma^2$ będzie estymatorem największej wiarogodności parametru $\sigma^2$ w tym modelu. Wyznaczyć stałą $a$, tak aby $\tilde{a}^2=a\hat\sigma^2$ był estymatorem nieobciążonym parametru $\sigma^2$.

(A) $a=\frac{8n}{8n-4}$
(B) $a=1$
(C) $a=\frac{8n}{8n-1}$
(D) $a=\frac{8n}{8n-8}$
(E) $a=\frac{8n}{8n-2}$

ZADANIE 20. Pobieramy próbkę niezależnych realizacji zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną $\lambda>0$. Niestety sposób obserwacji uniemożliwia odnotowanie realizacji o wartości 0. Pobieranie próbki kończymy w momencie, gdy liczebność odnotowanych realizacji wynosi $n$. Tak więc, każda z naszych kolejnych odnotowanych realizacji $K_1,K_2,\ldots, K_n$ wynosi co najmniej 1 i nic nie wiemy o tym, ile w międzyczasie pojawiło się obserwacji o wartości 0. Estymujemy parametr $\lambda$ za pomocą estymatora postaci $$\hat\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i=2}^{\infty}iN_i,$$ gdzie $N_i$ jest liczbą obserwacji o wartości $i$.
Obliczyć wariancję estymatora $\hat\lambda$.

(A) $\frac{1}{n}[\lambda-\lambda e^{-\lambda}(1+\lambda e^{-\lambda}-2\lambda)]$
(B) $\frac{\lambda^2}{n}$
(C) $\frac{\lambda^2-\lambda+\lambda^2e^{\lambda}}{n(e^{\lambda}-1)}$
(D) $\frac{\lambda^2+\lambda-\lambda e^{\lambda}}{n(1-e^{\lambda})}$
(E) $\frac{\lambda^2-\lambda+\lambda e^{\lambda}}{n(e^{\lambda}-1)}$

ZADANIE 21. Obserwujemy $X_1,X_2,X_3,X_4$ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o gęstości $$f_{\theta_1}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2^{\theta_1}\theta_1}{(2+x)^{\theta_1+1}}, &
\hbox{gdy $x>0$,} \\
0, & \hbox{gdy $x\leq 0$}
\end{array}
\right.$$ i $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_5$ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o gęstości $$f_{\theta_2}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2^{\theta_2}\theta_2}{(2+x)^{\theta_2+1}}, &
\hbox{gdy $x>0$,} \\
0, & \hbox{gdy $x\leq 0$,}
\end{array}
\right.$$ gdzie $\theta_1$ i $\theta_2$ są nieznanymi parametrami dodatnimi.
Wszystkie zmienne losowe są niezależne. Testujemy hipotezę $H_0:\ \frac{\theta_1}{\theta_2}=1$ przy alternatywie $H_1:\ \frac{\theta_1}{\theta_2}>1$ za pomocą testu o obszarze krytycznym $$K=\left\{ \frac{\hat\theta_1}{\hat\theta_2}>t\right\},$$ gdzie $\hat\theta_1$ i $\hat\theta_2$ są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio parametrów $\theta_1$ i $\theta_2$ wyznaczonymi na podstawie prób losowych $X_1,X_2,\ldots ,X_4$ i $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_5$.
Dobrać stałą $t$ tak, aby otrzymać test o rozmiarze 0,05.

(A) $t=6,256$
(B) $t=3,347$
(C) $t=3,072$
(D) $t=5,192$
(E) $t=4,184$

ZADANIE 22. Zakładamy, że $X_1,X_2,\ldots ,X_{10},X_{11},X_{12},\ldots ,X_{20}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, przy czym $\text{E}(X_i)=\mu_1$ i $\text{Var}(X_i)=\sigma^2$, dla $i=1,2,\ldots ,10$, oraz $\text{E}(X_i)=\mu_2$ i $\text{Var}(X_i)=2\sigma^2$, dla $i=11,12,\ldots ,20$. Parametry $\mu_1$, $\mu_2$ i $\sigma$ są nieznane.
Niech $$\bar X_1=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i,\quad \bar X_2=\frac{1}{10}\sum_{i=11}^{20}X_i,\quad \bar X=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}X_i.$$ Dobrać stałe $a$ i $b$ tak, aby statystyka $$\hat \sigma^2=a\sum_{i=1}^{20}(X_i-\bar X)^2+b(X_1-X_2)^2$$ była estymatorem nieobciążonym parametru $\sigma^2$.

(A) $a=\frac{1}{27}$, $b=-\frac{1}{54}$
(B) $a=\frac{1}{18}$, $b=-\frac{10}{18}$
(C) $a=\frac{1}{27}$, $b=-\frac{10}{27}$
(D) $a=\frac{1}{27}$, $b=-\frac{5}{27}$
(E) $a=\frac{1}{18}$, $b=-\frac{5}{18}$

ZADANIE 23. Dysponując pięcioma niezależnymi próbkami losowymi o tej samej liczebności $n$, z tego samego rozkładu normalnego $N(\mu,\sigma^2)$ z nieznaną wartością oczekiwaną $\mu$ i znaną wariancją $\sigma^2$, zbudowano pięć standardowych przedziałów ufności dla parametru $\mu$ otrzymując przedziały postaci $$\left[ \bar X_i-1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar X_i+1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right ],$$ gdzie $\bar X_i$ jest średnią z obserwacji w $i$-tej próbce, $i=1,2,3,4,5$.
Następnie zbudowano przedział ufności dla parametru $\mu$ postaci $$\left[ m-1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, m+1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right ],$$ gdzie $m=\text{med}\{ X_1,X_2,X_3,X_4,X_5 \}$. Wyznaczyć $$c=\text{P}\left( m-1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu < m+1,2816\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).$$ (A) $c=0,97500$
(B) $c=0,95000$
(C) $c=0,98288$
(D) $c=0,89144$
(E) $c=0,99982$

ZADANIE 24. Niech $X_1,X_2,\ldots ,X_{10}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego, przy czym $\text{E}(X_i)=0$ i $\text{Var}(X_i)=\frac{\sigma^2}{i}$, gdzie $\sigma^2$ jest nieznanym parametrem.
Rozważmy jednostajnie najmocniejszy test hipotezy $H_0:\ \sigma^2\leq 4$ przy alternatywie $H_1:\ \sigma^2>4$ na poziomie istotności 0,05.
Niech $S$ oznacza zbiór tych wartości wariancji $\sigma^2$, dla których moc tego testu jest nie mniejsza niż 0,95. Wtedy $S$ jest równy

(A) $(20,353;+\infty)$
(B) $(18,584;+\infty)$
(C) $(17,307;+\infty)$
(D) $(15,761;+\infty)$
(E) $(15,051;+\infty)$

ZADANIE 25. Zakładając, że obserwacje $x_1,x_2,\ldots ,x_{10}$ stanowią próbkę losową z rozkładu Pareto o gęstości $$f_{\theta}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{3^{\theta}\theta}{(3+x)^{\theta+1}}, & \hbox{gdy $x>0$,} \\
0, & \hbox{gdy $x\leq 0$,}
\end{array}
\right.$$ gdzie $\theta>0$ jest nieznanym parametrem, wyznaczono wartość estymatora największej wiarogodności parametru $\theta$ i otrzymano $\hat \theta=2$. W próbce były dwie obserwacje o wartości 6, a pozostałe osiem obserwacji miało wartości mniejsze od 6. Okazało się, że w rzeczywistości zaobserwowane wartości stanowiły próbkę z uciętego rozkładu Pareto, czyli były realizacjami zmiennych losowych $X_i=\min\{Y_i,6\}$, gdzie $Y_i$, $i=1,2,\ldots ,10$, są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości $f_{\theta}$.
Wyznaczyć wartość estymatora największej wiarogodności parametru $\theta$ po uwzględnieniu modyfikacji założeń.

(A) 2,00
(B) 2,85
(C) 1,60
(D) 1,50
(E) 3,00