System komputerowy
Systemy liczbowe- Binarny system
liczbowy
- Arytmetyka binarna
- Zasady arytmetyki
dwójkowej
- Konwersja liczby
dziesiętnej na liczbę dwójkową
- Konwersja liczby dwójkowej
na dziesiętną
Systemy liczbowe
W życiu codziennym
przyzwyczajeni jesteśmy do wykonywania rachunków w systemie
dziesiętnym. Zupełnie nieświadomie korzystamy z tzw.
pozycyjnego systemu liczenia.
Przykładowo liczbę 118 można zapisać w następującej
postaci:
Liczba 10 w tym zapisie nazywa
się podstawą systemu liczenia. W systemie dziesiętnym
wykorzystuje się 10 cyfr : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Tą samą liczbę 118 można
przedstawić w systemie szesnastkowym w postaci następującej:
Liczba 16 w tym zapisie nazywa
się podstawą systemu. W systemie szesnastkowym wykorzystuje się 16 cyfr : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Wszystkie komputery na świecie
działają w oparciu o urządzenia, których najmniejszą
jednostką jest cyfra 0 lub 1. Stało się tak, dlatego, że
ludziom udało się tylko zbudować takie elementy elektroniczne,
które mogą przyjmować dwa stany fizyczne: jest prąd, nie ma
prądu. Te dwa stany fizyczne nazywamy wartościami logicznymi: TAK, NIE
(PRAWDA, FAŁSZ) lub w
systemie dwójkowym 1 , 0.
Dlatego też systemy komputerowe posługują się (liczą) tylko dwójkowym systemem liczenia. Naszą liczbę 118
można zapisać w postaci następującej :
Natomiast w pamięci komputera
(RAM lub ROM) zapisana liczba wygląda tak: 1,1,1,0,1,1,0
Ogólny wzór na przedstawienie liczby w
systemie pozycyjnym o podstawie p wygląda następująco:
gdzie:
cn c n-1.... c3 c2
c1 c0 - cyfry liczby
p podstawa systemu
( cn c n-1.... c3 c2
c1 c0 ) p przedstawienie
liczby w systemie p-tym
Przykłady:
(118) 10 = (076) 16 = (1110110) 2
(32) 10 = (010) 16 = (100000) 2
Binarny
system liczbowy
Programiści, czyli ludzie
piszący programy komputerowe posługują się czasem systemem
szesnastkowym (heksadecymalnym), w którym stosuje się cyfry: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Zajmiemy się teraz zamianą
liczb dwójkowych ( binarnych ) na liczby dziesiętne i
odwrotnie.
Zadanie: Zamień liczbę
binarną 1111 (2) na liczbę dziesiętną:
| 3 |
2 |
1 |
0 |
| 23 |
22 |
21 |
20 |
| 8 |
4 |
2 |
1 |
| 1 x 8 |
1 x 4 |
1 x 2 |
1 x 1 |
Odp.: 1111 (2) = 8 + 4 + 2 +1 = 15 (10) 
Zadanie: Zamień liczbę
dziesiętną 15(10) na liczbę binarną:
| Dzielenie |
Iloraz |
Reszta z dzielenia |
Cyfra |
| 15 : 2 |
7 |
1 |
C0 |
| 7 : 2 |
3 |
1 |
C1 |
| 3 : 2 |
1 |
1 |
C2 |
| 1 : 2 |
0 |
1 |
C3 |
Dzielenie wykonujemy aż iloraz
osiągnie 0.
Otrzymana liczba wynosi : (1111) 2
Jedną cyfrę 0 lub 1 w systemie
binarnym nazywamy bitem. Nazwa ta powstała ze złożenia dwóch
słów angielskich binary digit (cyfra binarna). Bit to podstawowa jednostka informacji w
świecie komputerów. Na bicie kończy się świat komputerów, a
może w nim właśnie się zaczyna (?).
Pojęcie bajtu. Gdy zestawimy razem 8 bitów to mamy
już kawałek informacji, taką miarę informacji nazywamy więc bajtem
( ang. byte kawałek
).
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
Przykład komórki pamięci komputerowej zawierającej liczbę 50 (10) .
(00110010) (2)
= (50) (10)
Arytmetyka
binarna
Proces przetwarzania wymaga
uprzedniego wprowadzenia informacji i zapamiętania ich.
Informacje są wprowadzane do komputera najczęściej w postaci
ciągów znaków którymi są na ogół liczby lub teksty. Zbiór
akceptowanych przez komputer znaków można traktować jako
szerzej pojęty alfabet. Wprowadzenie do komputera znaków w nie
zmienionej postaci graficznej byłoby wygodne dla człowieka, ale
wymagało by stosowania bardzo
skomplikowanych urządzeń
odczytujących, przetwarzających i zapisujących. Dlatego każdy
znak jest w komputerze kodowany, czyli otrzymuje jednoznaczną
reprezentację liczbową.
W komputerach zgodnych ze
standardem IBM używa się kodu ASCII, w którym określono kody 128 znaków
Stanowiących uniwersalny alfabet informatyki. Kod ASCII zawiera
kody 128 znaków podstawowych (o wartościach od 0 do 127)
odpowiadających znakom widocznym na klawiaturze
oraz znakom sterujących.
Również liczby wymagają w czasie komputerowego przetwarzania
reprezentacji różnej od tradycyjnej. Na co dzień
posługujemy się liczbami zapisanymi w dziesiątym układzie
pozycyjnym, zwanym po prostu pozycyjnym układem dziesiętnym.
W komputerach stosowany jest najprostszy z możliwych systemów - system
dwójkowy, w którym występują
tylko dwie cyfry: zero i jeden. Cyfry dwójkowe nazywamy bitami. Liczby naturalne (czyli nieujemne liczby
całkowite) w systemie dziesiętnym są reprezentowane przez
ciągi cyfr dziesiętnych.
Liczba n - cyfrowa w systemie
dziesiętnym ma postać:
gdzie: są cyframi należącymi
do zbioru {0, 1,...,9} i oznacza wartość wyznaczaną
następującym wzorem: 
Liczba n - cyfrowa w systemie
dwójkowym ma postać: 
gdzie: są bitami, czyli cyframi należącymi do
zbioru {0, 1} i oznacza wartość wyznaczaną następującym
wzorem:
Przykład:
Liczba 11001(2)
w systemie dwójkowym oznacza liczbę dziesiętną:
Zasady arytmetyki dwójkowej
Zasady arytmetyki dwójkowej są
następujące:
Dodawanie
dwójkowe
|
Mnożenie
dwójkowe
|
0 + 0 = 0
|
0 x 0 = 0
|
0 + 1 = 1
|
0 x 1 = 0
|
1 + 0 = 1
|
1 x 0 = 0
|
1 + 1 = 0 (oraz
przeniesienie
1 na wyższą pozycję)
|
1 x 1 = 1
|
W powyższych wzorach w dodawaniu
dwójkowym trzy pierwsze wzory oraz wszystkie wzory mnożenia
dwójkowego są takie same jak w systemie dziesiętnym dla cyfr 0
i 1, natomiast w dodawaniu dwójkowym 1 + 1 = 0 mamy przeniesienie wartości binarnej 1 o jedną binarną
pozycję wyżej, tzn. 1+1=10(2)
=1 x 21 + 0 x 20 = 2(10).
Przykłady działań arytmetyki
dwójkowej:
a). Dodawanie
b). Odejmowanie
c). Mnożenie
Konwersja liczby dziesiętnej na
liczbę dwójkową
Metoda ilorazowa dla liczb
całkowitych
| Dzielenie
przez 2 |
Iloraz |
Reszta |
Nr bitu |
| 130:2 |
65 |
0 |
0 |
| 65:2 |
32 |
1 |
1 |
| 32:2 |
16 |
0 |
2 |
| 16:2 |
8 |
0 |
3 |
| 8:2 |
4 |
0 |
4 |
| 4:2 |
2 |
0 |
5 |
| 2:2 |
1 |
0 |
6 |
| 1:2 |
0 |
1 |
7 |
13010=100000102
Konwersja liczby dwójkowej na
dziesiętną
Metoda definicyjna.
10000010 2= 1 x 27 + 0 x
26+0 x 25 +0 x 24 +0 x 23
+0 x 21 + 1 x 21+0 x 20=128
+2=13010
100000102=13010