MODELOWANIE PROCESU PROPAGACJI CIEPŁA W OŚRODKU GRUNTOWYM

Andrzej Pawuła, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań

Polskie Towarzystwo Geologiczne  -  Instytut Geologii UAM w Poznaniu, Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993.

Streszczenie

Zjawisko propagacji ciepła w ośrodku gruntowym rozpatruje się jako superpozycję pola temperatur oraz pola hydrodynamicznego filtracji. Strumień ciepła jest więc traktowany jako suma strumienia kondukcyjnego, uwarunkowanego przewodnictwem cieplnym ośrodka oraz strumienia konwekcyjnego, wynikającego z przenoszenia ciepła przez filtrującą wodę. Strumień kondukcyjny ciepła określony jest równaniem Fouriera. Do podstawowych parametrów termicznych ośrodka, obok współczynnika przewodności cieplnej, należy również objętościowa pojemność cieplna ośrodka oraz współczynnik dyfuzji termicznej. Wartość współczynnika przewodności cieplnej nawodnionego ośrodka gruntowego uzależniona jest od przewodności szkieletu gruntowego i przewodności cieplnej wody, a także od tekstury skały i kształtuje się w granicach od 0,3 J s-1 m-1 K-1 dla piasków suchych do ok. 3,0 J s-1 m-1 K-1 dla wapieni i granitów. Objętościowa pojemność cieplna ośrodka, równa jest iloczynowi ciepła właściwego i gęstości gruntu. Pojemność cieplna ośrodka dwufazowego, jaki stanowi nawodniony ośrodek skalny, jest sumą pojemności cieplnej skały i wody porowej, w proporcji odpowiadającej objętości poszczególnych faz. Współczynnik dyfuzyjności termicznej jest ilorazem współczynnika przewodności termicznej i pojemności cieplnej. Strumień konwekcyjny ciepła jest wynikiem unoszenia ciepła zawartego w wodzie porowej, definiowany jest więc jako iloczyn strumienia hydraulicznego i ilości  ciepła zawartego w jednostce objętości wody porowej.

W sformułowaniu modelu matematycznego przyjmuje się następujące założenia:

- wewnątrz rozpatrywanej objętości elementarnej można zdefiniować temperaturę wody, która jest funkcją ciągłą i różniczkowalną w całym obszarze;

- transport ciepła jest rezultatem średniego ruchu konwekcyjnego fazy ruchomej wody i przewodnictwa nawodnionego ośrodka porowatego;

- wymiana ciepła między fazą nieruchomą a fazą ruchomą jest natychmiastowa;

Po uwzględnieniu własności dywergencji i zastąpieniu współczynnika dyfuzji termicznej współczynnikiem dyspersji, który uwzględnia również własności rozpraszające ośrodka wodonośnego, równanie propagacji ciepła przyjmuje postać równania różniczkowego, w którym  występuje człon dyspersyjny oraz dwa człony konwekcyjne  -  konwekcji naturalnej oraz konwekcji wymuszonej. Współczynnik dyspersji jest parametrem kompleksowym i w polu filtracji stanowi sumę współczynnika dyfuzji termicznej i współczynnika dyspersji hydrodynamicznej. Liczba Pecleta określa stosunek przepływu konwekcyjnego do przepływu dyfuzyjnego. Przy wartościach Pe mniejszych od 1 dominuje dyspersja hydrodynamiczna. Współczynnik dyspersji ma postać tensora i w układzie dwuwymiarowym (x, y) można go ograniczyć do dwóch składowych: współczynnika dyspersji podłużnej oraz współczynnika dyspersji poprzecznej (założenie  -  kierunek przepływu zgodny z osią x). Otrzymane równanie rózniczkowe cząstkowe wyraża bilans ciepła dla elementarnego wycinka nawodnionego ośrodka gruntowego. Rozwiązanie numeryczne równania propagacji ciepła polega na aproksymacji pochodnych dla założonej siatki dyskretyzacyjnej pola i założonego kroku czasowego i utworzeniu systemu równań różnicowych dla wszystkich elementów siatki modelu. Po aproksymacji wyrażeń różniczkowych metodą różnic skończonych, przy założeniu modułu oczka kwadratowego schematu dyskretyzacyjnego, otrzymuje się równanie różnicowe propagacji ciepła dla każdego oczka siatki modelu, z wyjątkiem oczek o założonych warunkach.

Uzyskanie jednoznacznego rozwiązania układu równań wymaga założenia dwojakiego rodzaju warunków: początkowego i brzegowego. Warunkiem początkowym dla równania propagacji ciepła jest założenie dla wszystkich oczek siatki modelu temperatury początkowej T = T0, dla czasu t = t0. Warunkiem brzegowym I - go rodzaju (warunek Dirichleta), założonym w oczkach brzegowych modelu, jest znana funkcja temperatury T = T (x,y,t). Warunek brzegowy może być również założony wewnątrz siatki modelu. Oczka modelu z założonym warunkiem brzegowym odwzorowują oddziaływanie źródeł ciepła. Otrzymany układ równań liniowych rozwiązuje się z kolei metodą relaksacyjna. Rozwiązaniem układu równań liniowych dotyczących wszystkich oczek modelu, z wyjątkiem oczek z założonym warunkiem brzegowymi I - go rodzaju (TI = constans), jest mapa pola temperatur.

W artykule przedstawiono opis stanowiska eksperymentalnego do badań in situ oraz model symulacyjny do pomiarów porównawczych. W warstwie nawodnionych utworów pylastych, na głębokości 2 m, zainstalowana została sonda źródłowa o ustabilizowanej temperaturze 50°C oraz 22 pomiarowe sondy termistorowe. Do zasilania sondy źródłowej oraz wykonywania pomiarów temperatury służył monitor pola MP - 22. Badania eksperymentalne wykonano w dwóch fazach czasowych, po 72 godziny każda. W modelu symulacyjnym badanego pola temperatur uwzględniono lokalne warunki hydrogeologiczne oraz odpowiednie dla każdej fazy warunki początkowe i brzegowe. Wyniki obliczeń komputerowych zostały porównane z pomiarami temperatury jako funkcji położenia i czasu. Pomiary eksperymentalne w powiązaniu z modelem symulacyjnym mogą służyć do wyznaczania parametrów dyspersji ośrodka gruntowego. W przypadku dysponowania przestrzenną charakterystyką parametrów dyspersji  -  model symulacyjny może posłużyć do prognozowania strumienia ciepła w ośrodku gruntowym i analizowania zasięgu oddziaływania źródeł ciepła.

LITERATURA

Benderitter Y., Tabbagh A., Lacazedieu G., 1976: Echange de chaleur entre l'eau en circulation et l'aquifere. Centre de Recherches Géophysique CNRS, Garchy; Centre d'Hydrogéologie Université de Bordeaux.

Burger A., Recordon E., Bovet D., Cotton L, Saugy B., 1985: Thermique des nappes souterraines. Presses Polytechniqués Romandes. Lausanne.

Ledoux E., de Marsily G., 1976: Transport de masse et énergie en milieu poreux. Ecole des Mines de Paris, Centre d'Informatique Géologique, Fontainebleau.

Pawuła A., 1979: The Study on Migration ot Chemical Pollutions in Compounds Hydrogeological Structures. Polish-Austrian Seminar - Environment Protection. Politechnika Wrocławska. Raporty IIOS, Wrocław.

Pawuła A., Mazurek K., 1980: Analiza procesów migracji wody i zanieczyszczeń chemicznych w gruncie, z zastosowaniem metody modelowania matematycznego. Instytut Kształtowania Środowiska, Poznań.

________________________________________________________________________

Referat wygłoszony na zebraniu naukowym Polskiego Towarzystwa Geologicznego w Poznaniu,  w dniu 27.05.1993

Kompletny tekst artykułu z wyrażeniami matematycznymi (w edytorze Word 2000): PTG93.doc

Adres do korespondencji: pawula@main.amu.edu.pl