UNIVERSITÉ DE CONSTANTINE, INSTITUT DES SCIENCES DE LA TERRE

Colloque: MÉTHODE QUANTITATIVES & INFORMATIQUES APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA TERRE, CONSTANTINE, 2  -  4 JUIN, 1987

 MODELE VERTICAL DE L'ECOULEMENT SOUTERRAINE SOUS LE BARRAGE

Andrzej PAWU£A

Études sur modele concernant des conditions de l'écoulement souterraine sous le barrage sont intéressantes au point de vue de sécurité de la construction, surtout au terrain géologiquement compliqué. Application des modeles mathématiques, des modeles verticaux notamment, permet sur les études détailles qui consideres par exemples:

-          la variation de la structure géologique

-          la complexité de la structure géologique

-          l'influence d'un aquifere profond par la drainance

-          l'existence d'un colmatage du fond de réservoir

En imposant le niveau de retenue différents on peut calculer le réseau hydrodynamique correspondant et déterminer pressions optimales au-dessous de la construction ainsi que les débits. Dans le cas du barrage en béton (Fig. 1) on recherche la ligne de pression pour calculer de l'épaisseur du tapis de béton. Dans le cas du barrage en terre (Fig. 2) le but de recherche c'est la largeur optimale du remblai. 

Fig.1 Barrage - poids

Fig.2 Barrage en terre

MODELE MATHEMATIQUE

Pour établir le modele mathématique de l'écoulement souterraine nous profitons du principe de la conservation de masse du fluide et de la loi de Darcy. En admettant l'hypothese de simplification tel que l'incompressibilité du milieu ainsi que le régime permanent de l'écoulement, on obtient l'ensemble des équations:

-          l'équation du bilan d'écoulement                     div (v) + q = 0       (1)

-          la loi de Darcy                                                     v = - k grad H       (2)

ou v - le vecteur de la vitesse apparents

k - le coefficient de perméabilité de Darcy

H - la cote piézométrique (le potentiel hydraulique)

q -  le débit de transfert impose au calcule

En systeme bi-dimensionnel vertical des équations (1) et (2)  on peut transformer en équation différentielle aux dérivées partielles (3), ou x et y représentent les coordonnées cartésiennes du point considere:


Si nous admettons la discrétisation de l'aquifere par le réseau a mailles cares, l'approximation des dérivées partielles par les différences finies conduit a l'équation ordinaire (4):
ou: H(C) - le potentiel hydraulique de la maille centrale

Q(C) - le débit impose ou calcule de la maille

N, S, W, E - les indices des mailles voisines

NC. SC, WC, EC - les indices de direction

K(NC) - le coefficient de filtration moyen entre les centres des mailles N et C, etc.

Pour la résolution numérique d'un systeme des équations (4) dépendant du nombre des mailles du modele, c'est la méthode itérative de Frankel-Young qui est préférable. Elle est appelée aussi méthode de surrelaxation et définie par l'algorithme suivant (5):


ou: H(C)L et H(C)L-1 représentent deux valeurs successives

                L - itération actuelle

                L-1 - itération précédent

                H(C) barre - représente une valeur corrigée

                R - le coefficient de surrelaxation

 CONDITIONS AUX LIMITES

Les conditions impose aux limites du modele sont de deux types: piézométrique et de débit. Dans la distance convenable du barrage en amont et en aval, dans laquelle les lignes équipotentielles sont plus ou moins verticales, on impose le condition de Dirichlet: H = const. Pour les mailles du modele en contact avec le réservoir d'accumulation on peut recommander l'application soit le potentiel impose correspondant au niveau de retenue, soit le débit calcule (conditions de Neumann). Cette deuxieme solution est préférable dans le cas du réservoir colmate. La meme condition est obligatoire pour la limite du modele alimentée par la draince verticale. Le débit de drainance traversant la couche semi-perméable on calcul selon la formule (6):


                ou: A - le module du réseau de modele

                K(s) - le coefficient de perméabilité de l-aquitard

                E - l'épaisseur de l'aquitard

                H(l) - le potentiel au limite (calcule)

                H(i) - le potentiel impose (soit le niveau de retenue, soit le potentiel reconnu de l'aquifere profond)

Pour les mailles situées au limite en aval du barrage il faut réserver la condition du deuxieme type, celui de Neumann, en supposant Q(C) = 0. Dans cette partie du modele c'est la ligne de pression ou la surface piézométrique de l'aquifere qui est le but de calculs.

PARTICULARITÉS DU MODELE VERTICAL

La méthode itérative de surrelaxation appliquée au réseau différentiel est bien convergente et stable. Mais le temps de calculs dépend de la précision impose au processus itératif ainsi que de la diffusivite numérique sur le réseau du modele. Cette derniere dépend tour de rôle, de la géométrie du réseau, du nombre des mailles et de mise en place des conditions aux limite, qui sont en générale désavantageuses dans le cas du modele vertical de la nappe phréatique.

A l'effet d'augmentation de la précision de calculs on peut agrandir la compacité du réseau de modele, parce que l'erreur de schématisation diminue convenablement. Mais l'agrandissement de la compacité du réseau est limite, par la capacité de memoir de l'ordinateur d'une cote et par le temps de calculs d'autre cote.

Les conditions hydrogeologiques imposent souvent la forme du modele désavantageuse du point de vue d'efficacité de calculs. Il y a tres souvent la disproportion entre l'hauteur du modele qui corresponde a l'épaisseur de la couche et longueur du réseau suivant la direction d'ecoulemnt. Désavantage supplémentaire au processus de calculs c'est la longueur du secteur a la limite supérieure dans lequel le débit nul est impose et on cherche la surface piézométrique. Cela prolonge le temps de calculs et décide que les conditions aux limites sont désavantageuses. La précision projection des conditions hydrogeologiques demande de l'application du réseau compact duquel la dimension d'une maille est environ d'un metre. Cela tour a tour impose la précision au cours de calculs itératifs au niveau de millimetres. En cobsequence le temps de calculs est long et le processus de convergence demande au moins de quelques dizaines itérations. Dans le cas contraire si on résigne du réseau compact cela conduit aux simplifications inacceptables, donc aux erreurs dans l'interprétation du réseau hydrodynamique. Si nous résignerions aussi de la précision de calculs cela conduirait a l'interprétation erroné de la surface piézométrique et au bilan d'écoulement non-équilibre.

Fig. 3 Organigramme simplifie du programme HYDRO.VERTICAL

PARTICULARITÉS DE SIMULATION D'UN AQUIFERE A NAPPE LIBRE

Dans le cas de simulation d'un aquifere a nappe libre existe le probleme de fluctuation du niveau piézométrique donc la varation de l'épaisseur de la couche aquifere. En principe l'écoulement d'eau souterraine demande le modele tros-dimensionnel mais en pratique le modele bi-dimensionnel est acceptable. Dans  ce cas-la il faut corriger le modele au cours des calculs. La procédure de correction est marquée sur l'organigramme ci-joint (Fig. 3).

Pour ce qui est de cela il  faut tout d'abord bien déterminer les conditions initiales du modele. On propose supposer pour tout les mailles du modele les valeurs initiales du potentiel qui seront correspondais a la valeur maximale existant dans ce terrain-la. C'est pour obtenir le sens unique au processus itératif. Ces mailles qui se trouveront au-dessus de la surface piézométrique calculée il faut retirer hors du modele. Pour cette raison il faut faire a chaque maille du modele et pour chaque itération, la comparaison de la valeur calculée H et la valeur repérée Hr. Si la valeur repérée Hr dépasse la valeur calculée H ca signifie que la maille se trouvait hors de la couche aquifere. Dans ce cas il faut renumerer le réseau du modele.

PROGRAMME DE SIMULATION

Le programme appelé <HYDRO.VERTICAL> a été établi en 1987. Langage de programmation BASIC Apple Soft. Occupation de la mémoire de l'ordinateur par le programme lui-meme: 10,4 K octets et par les tableaux du modele a 400 mailles: 23,6 K octets supplémentairement. Exécution d'une itération a besoin 33 seconds.

Le champ d'application: recherche des conditions d'écoulement des eaux souterraines en régime permanent sur un plan vertical et dans les terrains géologiquement compliques, particulierement au voisinage des barrage. Le programme est adapte a la simulation d'écoulement aux systemes mono- ou bi-couches, soit a nappe captive soit a nappe libre.

Ce programme a été applique a la façon pédagogique a l'Institut des Sciences de la Terre de Constantine, pour les étudiants qui suivent le cours de modélisation en hydrogéologie.

EXEMPLE D'UN BARRAGE EN BETON

Conditions hydrogeologiquew: l'aquifere phréatique de l'épaisseur 15 - 18 m qui se compose de deux coche. Dans la partie supérieure ce sont les sables (k = 10E-4 m/s) et dans la partie inférieure les graviers avec les sables (k = 10E-2 m/s). La surface piézométrique se trouve a la profondeur d'un metre et le gradient hydraulique I=10E-3. Dans la profondeur environ 25 m il y a deuxieme aquifere a nappe semi-captive laquelle se établis 5 metres au-dessus du terrain. Les aquiferes sont sépare par la couche semi-perméable (k = 10E-6 m/s).

Impositions techniques: le barrage en béton de l'hauteur 25 m et déja vérifie de point de vue de la résistance a la flexion. L'hauteur de retenue d'eau dans le réservoir est prévue sur 20 m. Ce qui dépend des recherches hydrogeoloques c'est l'épaisseur du tapis en béton, calculée au point de vue de la résistance au cisaillement. Alors le projet de construction du barrage demande des valeurs de pression en aval.

Mise en ouvre du modele: On a étudie l'écoulement souterraine a la distance 84 m. La couche aquifere a été discrétisée par la réseau a mailles carre (le pas de réseau a 3 m). Le nombre total des mailles du modele: 153. Les parametres d'entrées: coefficient de filtration et le potentiel initial de tout les mailles du modele, les potentiels constants pour les mailles aux limites verticaux et aussi les coefficients de perméabilité et des épaisseurs de la couche semi-perméable pour les mailles au limite horizontal inférieure.  La schéma du modele avec les conditions aux limites est présente sur la figure 4.

Résultats de la simulation sur modele (extrait): On supposant la précision de calculs au niveau de 5 cm et le coefficient de surrelaxation de 1,5 on a obtenu la convergence du processus d'itératif apres les 58 itérations.

Fig. 4 Eléments du modele vertical

Résultats de calculs (extrait):

Tableau 1: Pressions en aval du barrage

Distance [m] Hauteur d'eau [m] Distance [m] Hauteur d'eau [m]
0,0 20,0 25,5 6,3
1,5 16,4 28,5 5,4
4,5 14,2 31,5 4,5
7,5 12,6 34,5 3,7
10,5 11,3 37,5 2,9
13,5 10,2 40,5 2,1
16,5 9,2 43,5 1,4
19,5 8,2 46,5 0,7
22,5 7,3 49,5 0,1

Tableau 2: Bilan d'écoulement (débit au secteur unitaire)

Limite du modele Alimentation Drainage
m3/s % m3/s %
Fond du reservoir * 8,888E-3 7,55 - -
Vertical en amont 1,088E-1 92,45 - -
Drainance (descension) - - 5,624E-5 0,05
Drainance (ascension) 1,16E-5 <0,01 - -
Vertical en aval - - 1,111E-1 99,95
Somme 1,177E-1 100 1,112E-1 100

*/ dans une partie proche du barrage

 

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