Jak się zainteresowaliśmy parami zbiorów wypukłych?

Jerzy Grzybowski	Diethard Pallaschke	Ryszard Urbański

jgrz@amu.edu.pl	lh09@rz.uni-karlsruhe.de	rich@amu.edu.pl

Bodźcem do badania par minimalnych zbiorów wypukłych zwartych był rachunek quasiróżniczkowy V. F. Demyanova i A. M. Rubinova ([7]), który opierał się na formalnych regułach dla par subróżniczek.

Zgodnie z formalnymi regułami tego rachunku może się zdarzyć, że już po kilku działaniach pary subróżniczek rosną tak szybko, że stają się nieprzydatne w praktycznych zastosowaniach rachunku. Tutaj pojawia się w naturalny sposób pytanie o istnienie i charakterystykę par minimalnych zbiorów wypukłych zwartych.

Pierwsze wyniki w tym kierunku były przedstawione przez Ryszarda Urbańskiego i Dietharda Pallaschke na seminarium prof. Orlicza latem 1989 roku w Poznaniu (patrz [20], [24]). W szczególności algebraiczne i geometryczne przedstawienie metody charakteryzacji minimalności były rozwinięte w [24], gdzie przedstawiono kilka przykładów, m.in. pary soczewek i gwiazdę Dawida (para przecinających się trójkątów ).

Następnie, niezależnie od siebie Jerzy Grzybowski [10] i Stefan Scholtes [33] pokazali, że pary minimalne na płaszczyźnie są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do translacji. Ponadto Jerzy Grzybowski [10] podał pierwszy kontrprzykład na to, że ten wynik nie jest prawdziwy w wyższych wymiarach.

Opierając się na tych wynikach rozpoczęto systematyczne badanie par minimalnych zbiorów wypukłych domkniętych ograniczonych bądź wypukłych zwartych.

Para minimalna soczewek

powrót

"Gwiazda Dawida"

powrót

Czy istnieją pary minimalne zbiorów wypukłych?