Historia par minimalnych
wypukłych zbiorów zwartych

Pary wypukłych zbiorów zwartych powstają w naturalny sposób w rachunku quasiróżniczkowym V. F. Demyanova i A. M. Rubinova jako sub- i superróżniczka funkcji quasiróżniczkowalnej (zobacz [7]) oraz we wzorach do numerycznych przybliżeń Całki-Aumanna, które były ostatnio przedstawione w serii artykułów przez R. Baiera i F. Lempio (zobacz [1], [2] i [4]) oraz R. Baiera i E. Farkhi [3]. W dziedzinie wypukłości kombinatorycznej G. Ewald w artykule [9] stosuje interesującą konstrukcję obliczania kombinatorycznej grupy Picarda wachlarzy, nazywaną wirtualnym wielościanem, który może być również reprezentowany jako para wielościanów. Ponieważ we wszystkich trzech przypadkach pary wypukłych zbiorów zwartych nie są wyznaczone jednoznacznie, minimalne reprezentanty są szczególnie ważne. Pokrewnym problemem do istnienia par minimalnych jest problem istnienia par zredukowanych ciał wypukłych, który był studiowany przez Chr. Bauera (zobacz [6]).

[Poznań] [Karlsruhe]

Ogólną strukturą do badania par minimalnych niepustych wypukłych zbiorów zwartych jest siatka Radstroma-Hormandera nad przestrzenią liniowo- toplogiczną par niepustych wypukłych zbiorów zwartych (zobacz [16], [30] i [34]).

Niech X = (X, ) będzie przestrzenią liniowo- topologiczną oraz B(X) (odp. K(X)) rodziną wszystkich niepustych ograniczonych domkniętych (odp. zwartych) podzbiorów wypukłych X. Dla niepustych A,B [zawartych w] X : A + B oznacz sumę Minkowskiego a A [suma Minkowskiego] B domknięcie A + B. Dla A,B [należących do] K(X) : A [suma Minkowskiego] B = A + B. Ponieważ B(X) spełnia porządkowe prawo skreśleń, tzn. dla A,B,C [należących do ] B(X) inkluzja A [suma Minkowskiego] B [zawiera się w] B [suma Minkowskiego] C implikuje A [zawiera się w] C, zbiór B(X) z sumą [suma Minkowskiego] oraz K(X) z sumą Minkowskiego tworzą semigrupy przemienne z prawem skreśleń.

W B 2(X) = B(X) [iloczyn kartezjański] B(X) jest zdefiniowana następująca relacja równoważności: (A,B) [równoważne] (C,D) wtedy i tylko wtedy, gdy A [suma Minkowskiego] D = B [suma Minkowskiego] C oraz porządek częściowy: (A,B) [mniejsze lub równe] (C,D) wtedy i tylko wtedy, gdy A [zawarte w] C i B [zawarte w] D. Klasę równoważności pary (A,B) oznaczamy przez [A,B].

Parę (A,B) [należącą do] B 2(X) nazywamy minimalną, jeśli nie istnieje para (C,D) [należąca do] [A,B] taka, że (C,D) < (A,B). W [20] pokazano, że dla każdej pary (A,B) [należącej do] K 2(X) istnieje para minimalna (Ao,Bo) [należąca do] [A,B], ale nie jest to prawdziwe dla B 2(X). J. Grzybowski i R. Urbański [13] udowodnili, że istnieje klasa [A,B] [należy do] B 2(co) , która nie zawiera elementu minimalnego, gdzie co jest przestrzenią Banacha wszystkich ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera.

W przypadku przestrzeni dwuwymiarowej zostało pokazane niezależnie przez J. Grzybowskiego [10] i S. Scholtesa [33], że równoważne pary minimalne są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do translacji.

Nie jest to prawdziwe w wyższych wymiarach. Pierwszy kontrprzykład dla przestrzeni trójwymiarowej został przedstawiony przez J. Grzybowskiego [10]. Później D. Pallaschke i R. Urbański [26] skonstruowali przykład ciągłej rodziny równoważnych par minimalnych w trójwymiarowej przestrzeni, które nie są swoimi translacjami.

Wystarczające kryteria minimalności oraz algorytm odcinania hiperpłaszczyzną w celu redukcji par wypukłych zbiorów zwartych były prezentowane w serii artykułów  D. Pallaschke i R. Urbańskiego.

W [38] R. Urbański studiuje pary wypukłe wypukłych zbiorów zwartych. Niech trzy zbiory A,B,S [należą do] K(X), mówimy, że zbiór S oddziela zbiory A i B, jeżeli dla każdego a [należącego do] A i b [należącego do] B mamy [a,b] [iloczyn] S [różne od] [zbioru pustego]. Wówczas R. Urbański [38] dowodzi, że następujące warunki są równoważne:   i) A [suma] B jest wypukły,   ii) A [iloczyn] B oddziela A i B ,   iii) A [lub] B = conv(A [suma] B) jest sumantem   A + B.

Ten rezultat dał powód do wprowadzenia minimalności warunkowej: Parę (A,B) [należy do] K 2(X) nazywamy wypukłą, jeżeli zbiór A [suma] B jest wypukły oraz parę wypukłą (A,B) [należącą do] K 2(X) nazywamy minimalnie wypukłą, jeżeli dla każdej pary wypukłej (C,D) [należącej do] [A,B] relacja (C,D) [mniejsze lub równe] (A,B) implikuje, że (A,B) = (C,D) .

Minimalność warunkowa par była rozpatrywana przez D. Pallaschke, W.Urbańską i R. Urbańskiego [27]. Niezmienniki par minimalnych wypukłych zbiorów, jak np. wymiar afiniczny lub kowymiar sumy mnogościowej pary minimalnej były studiowane w [29] a liczność par minimalnych była badana przez M. Wiernowolskiego [42].

Wreszcie zauważmy, że problem par zbiorów wypukłych można rozpatrywać w bardziej ogólnej strukturze semigrupy przemiennej S uporządkowanej przez relację [mniejsze lub równe] i spełniającej warunek: jeżeli as [mniejsze lub równe] bs dla pewnego s należącego do S, wtedy a [mniejsze lub równe] b. Wówczas (a,b) [należy do] S 2 = S [iloczyn kartezjański] S odpwiada ułamkowi a/b [należy] S 2 i minimalność odpowiada względnie pierwszej reprezentacji a/b [należy do] S 2.


* Czy istnieją pary minimalne zbiorów wypukłych? * Czy pary minimalne zbiorów wypukłych są jedyne? *
* A co z wielościanami wypukłymi? * Jakie są niezmienniki par minimalnych zbiorów wypukłych? *
* Jak pary minimalne wiążą się z ułamkami? *
* Historia par minimalnych wypukłych zbiorów zwartych *
* Jak się zainteresowaliśmy parami zbiorów wypukłych? *
* Bibliografia * Definicje *
* Strona główna *